Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - \left( {2m + 3} \right){x^3} + \left( {m + 5} \right){x^2} \)\(+ \left( {5m - 1} \right)x + 2m - 9\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 9;5} \right]\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x + 2020} \right) - 1} \right|\) có số cực trị nhiều nhất.

Để hàm số \(y = \left| {f\left( {x + 2020} \right) - 1} \right|\) có số cực trị nhiều nhất thì phương trình \(f\left( {x + 2020} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {x + 2020} \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt.

Đặt \(t = x + 2020\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 1\).

Ta có: \(f\left( t \right) = 1 \Leftrightarrow {t^4} - \left( {2m + 3} \right){t^3} + \left( {m + 5} \right){t^2} + \left( {5m - 1} \right)t + 2m - 9 = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^4} - \left( {2m + 3} \right){t^3} + \left( {m + 5} \right){t^2} + \left( {5m - 1} \right)t + 2m - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 3{t^3} + 5{t^2} - t - 10 = 2m{t^3} - m{t^2} - 5mt - 2m\\ \Leftrightarrow {t^4} - 3{t^3} + 5{t^2} - t - 10 = m\left( {2{t^3} - {t^2} - 5t - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} - 2t + 5} \right) = m\left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right)\left( {2t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right)\left[ {{t^2} - 2t + 5 - m\left( {2t + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right)\left[ {{t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - m + 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\\g\left( t \right) = {t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - m + 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình \(f\left( {x + 2020} \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình \(f\left( t \right) = 1\) có 4 nghiệm \(t\) phân biệt, khi đó phương trình (*) cần có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1,\,\,2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\\g\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( { - m + 5} \right) > 0\\1 + 2\left( {m + 1} \right) - m + 5 \ne 0\\4 - 4\left( {m + 1} \right) - m + 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 4 > 0\\m + 8 \ne 0\\ - 5m + 5 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 4\end{array} \right.\\m \ne  - 8\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 4\end{array} \right.\\m \ne  - 8\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { - 9; - 4} \right) \cup \left( {1;5} \right]\backslash \left\{ { - 8} \right\}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 7; - 6; - 5;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.