Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( 1 \right) = 1\end{array}\)
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow $ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$.
Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Hướng dẫn giải:
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 3.$
Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)
Giải thích thêm:
Các em học sinh thường sai lầm khi không tính giới hạn trái và giới hạn phải trong bài toán trên. Nhiều học sinh có lời giải sai như sau :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{x - 3}}{{x - 3}} = 1 \Rightarrow $ Hàm số liên tục tại $x = 3$ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow m = 1\) và chọn nhầm đáp án sai.
