Cho hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a > b > \dfrac{4}{3}$ và biểu thức $P = 16{\log _a}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{12b - 16}}} \right) + 3\log _{\frac{a}{b}}^2a$ có giá trị nhỏ nhất. Tính $a + b.$

Ta có: $P = 16{\log _a}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{12b - 16}}} \right) + 3\log _{\frac{a}{b}}^2a$. Vì số hạng thứ hai chứa ${\log _{\frac{a}{b}}}a$ nên ta cố gắng đưa ${\log _a}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{12b - 16}}} \right)$ về ${\log _a}\dfrac{a}{b}$. Điều này buộc ta cần đánh giá $12b - 16 \le {b^3}$. Thật vậy:

Ta có: $12b - 16 \le {b^3} \Leftrightarrow {\left( {b - 2} \right)^2}\left( {b + 4} \right) \ge 0$ (Đúng).

Suy ra: $\dfrac{{{a^3}}}{{12b - 16}} \ge \dfrac{a}{b} > 1$ $ \Rightarrow {\log _a}\left( {\dfrac{{{a^3}}}{{12b - 16}}} \right) \ge {\log _a}{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^3} = 3{\log _a}\dfrac{a}{b} > 0$

Do đó:

$P \ge 48{\log _a}\dfrac{a}{b} + 3\log _{\frac{a}{b}}^2a$ $ = 3\left( {8{{\log }_a}\dfrac{a}{b} + 8{{\log }_a}\dfrac{a}{b} + \log _{\frac{a}{b}}^2a} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số dương $8{\log _a}\dfrac{a}{b}$, $8{\log _a}\dfrac{a}{b}$, $\log _{\frac{a}{b}}^2a$ ta được:

$P \ge 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{\left( {8{{\log }_a}\dfrac{a}{b} \cdot 8{{\log }_a}\dfrac{a}{b} \cdot \log _{\frac{a}{b}}^2a} \right)}} = 9\sqrt[3]{{64}} = 36.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\8{\log _a}\dfrac{a}{b} = \log _{\frac{a}{b}}^2a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\{\log _a}\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\{\log _a}2 = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\end{array} \right..$

Vậy $a + b = 6.$