Cho giới hạn lim với a,b \in {\mathbb{N}^*} và \left( {a,b} \right) = 1. Giá trị biểu thức {a^2} + {b^2} là:
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right) - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1} \right] = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1 = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2.\dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{{2x}}} \right] - 1 = 2.2 - 1 = 3
Do đó \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{1} \Rightarrow a = 3,b = 1 (do a,b nguyên dương và \left( {a,b} \right) = 1.
Vậy {a^2} + {b^2} = {3^2} + {1^2} = 10.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng giới hạn cơ bản \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1 tìm giới hạn đã cho và suy ra a,b.