Câu hỏi:
2 năm trước
Cho giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right) - x}}{x} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\left( {a,b} \right) = 1\). Giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right) - x}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1} \right]\) \( = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1\) \( = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2.\dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{{2x}}} \right] - 1\) \( = 2.2 - 1 = 3\)
Do đó \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{1} \Rightarrow a = 3,b = 1\) (do \(a,b\) nguyên dương và \(\left( {a,b} \right) = 1\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = {3^2} + {1^2} = 10\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng giới hạn cơ bản \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\) tìm giới hạn đã cho và suy ra \(a,b\).
