Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \({u_1} = \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$
Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$
Giả sử $(*)$ đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\)
Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \ge 2\).
Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \) \(\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1\)
Khi đó số hạng \({u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5\)
Hướng dẫn giải:
Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.