Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\)

Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*\)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là \({x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).

Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\)

Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \in N^*\).

Vậy \({x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*\)