Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 0\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 4n + 3\), \(\forall n \ge 1\). Biết

\(\lim \dfrac{{\sqrt {{u_n}}  + \sqrt {{u_{4n}}}  + \sqrt {{u_{{4^2}n}}}  + ... + \sqrt {{u_{{4^{2018}}n}}} }}{{\sqrt {{u_n}}  + \sqrt {{u_{2n}}}  + \sqrt {{u_{{2^2}n}}}  + ... + \sqrt {{u_{{2^{2018}}n}}} }} = \dfrac{{{a^{2019}} + b}}{c}\)

với \(a\), $b$, $c$ là các số nguyên dương và \(b < 2019\). Tính giá trị \(S = a + b - c\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 4.1 + 3\\{u_3} = {u_2} + 4.2 + 3\\...\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 4.\left( {n - 1} \right) + 3\end{array}\)

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

\({u_n} = {u_1} + 4.\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)\)\( = 4\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 3\left( {n - 1} \right)\)\( = 2{n^2} + n - 3\), với mọi $n \ge 1$.

Suy ra                                                           

\(\begin{array}{l}{u_{2n}} = 2{\left( {2n} \right)^2} + 2n - 3\\{u_{{2^2}n}} = 2{\left( {{2^2}n} \right)^2} + {2^2}n - 3\\...\\{u_{{2^{2018}}n}} = 2{\left( {{2^{2018}}n} \right)^2} + {2^{2018}}n - 3\end{array}\)

Và

\(\begin{array}{l}{u_{4n}} = 2{\left( {4n} \right)^2} + 4n - 3\\{u_{{4^2}n}} = 2{\left( {{4^2}n} \right)^2} + {4^2}n - 3\\...\\{u_{{4^{2018}}n}} = 2{\left( {{4^{2018}}n} \right)^2} + {4^{2018}}n - 3\end{array}\)

Do đó \(\lim \dfrac{{\sqrt {{u_n}}  + \sqrt {{u_{4n}}}  + \sqrt {{u_{{4^2}n}}}  + ... + \sqrt {{u_{{4^{2018}}n}}} }}{{\sqrt {{u_n}}  + \sqrt {{u_{2n}}}  + \sqrt {{u_{{2^2}n}}}  + ... + \sqrt {{u_{{2^{2018}}n}}} }}\)

$ = \lim \dfrac{{\sqrt {2 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + \sqrt {{{2.4}^2} + \dfrac{4}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + ... + \sqrt {2{{\left( {{4^{2018}}} \right)}^2} + \dfrac{{{4^{2018}}}}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}} }}{{\sqrt {2 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + \sqrt {{{2.2}^2} + \dfrac{2}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + ... + \sqrt {2{{\left( {{2^{2018}}} \right)}^2} + \dfrac{{{2^{2018}}}}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}} }}$

\( = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + 4 + {4^2} + ... + {4^{2018}}} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2018}}} \right)}}\)$ = \dfrac{{1\dfrac{{1 - {4^{2019}}}}{{1 - 4}}}}{{\dfrac{{1 - {2^{2019}}}}{{1 - 2}}}}$$ = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{4^{2019}} - 1}}{{{2^{2019}} - 1}}$\( = \dfrac{{{2^{2019}} + 1}}{3}\).

Vì \({2^{2019}} > 2019\) cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(S = a + b - c = 0\).