Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {DBE} = \widehat {EBC}.\) Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DF = BC.\) Tam giác \(CDF\) là tam giác gì?

Trên đoạn \(BF\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BG = BC\) khi đó \(G\) nằm giữa \(D\) và \(F\).

Ta có: \(BG = BD + DG\)

          \(DF = DG + GF\)

Mà \(BG = DF\) (cùng bằng \(BC\)) nên \(BD = GF.\)

\(\Delta BCG\) cân tại \(B\), \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\) nên \(BE\) là phân giác đồng thời là đường cao của \(\Delta BCG\).

Gọi \(H\) là giao của \(BE\) và \(GC\) nên \(BH\, \bot \,GC.\)

\(\Delta BHG\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HGB} + \widehat {GBH} = {90^o} \Rightarrow \widehat {CGB} = {90^o} - \dfrac{1}{3}\widehat {ABC}\)

\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^o} - \dfrac{1}{3}\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {CDG} = \widehat {ADB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {CDG} = {90^o} - \dfrac{1}{3}\widehat {ABC}\)

Do đó \(\widehat {CGB} = \widehat {CDG} = {90^o} - \dfrac{1}{3}\widehat {ABC}\) nên \(\Delta CDG\) cân tại \(C\) suy ra \(CD = CG\) (tính chất tam giác cân)

\(\widehat {CDB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta CDG\) nên \(\widehat {CDB} = \widehat {DCG} + \widehat {CGD}\)   (1)

\(\widehat {CGF}\) là góc ngoài tại đỉnh \(G\) của \(\Delta CDG\) nên \(\widehat {CGF} = \widehat {DCG} + \widehat {CDG}\)   (2)

Mà \(\widehat {CDG} = \widehat {CGD}\) (vì \(\Delta CDG\) cân tại \(C\))    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {CDB} = \widehat {CGF}\)

Xét \(\Delta CDB\) và \(\Delta CGF\) có:

\(CD = CG\,\,\,(cmt)\)

\(BD = FG\,\,(cmt)\)

\(\widehat {CDB} = \widehat {CGF}\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta CDB = \Delta CGF\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow CB = CF\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow CF = DF\) (vì cùng bằng \(BC)\)

Vậy \(\Delta CDF\) cân tại \(F.\)