Cho bất phương trình $\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 1 - m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x > 1.$

Ta có $\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 1 - m$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^4} - {x^2} > 1 - m$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} + {x^4} + {x^2} + m > \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + 2{x^2} + 1$  (*)

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + t\,\,\, \Rightarrow y' = 2{t^2} + 1 > 0$  nên hàm số $f\left( t \right)$ là hàm đồng biến

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$f\left( {\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}}} \right) > f\left( {\sqrt[3]{{2{x^2} + 1}}} \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} > \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}}$ $\Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + m > 2{x^2} + 1$ $\Leftrightarrow m > {\rm{\;}} - {x^4} + {x^2} + 1$

Xét hàm số $g\left( x \right) =  - {x^4} + {x^2} + 1$  với $x > 1$

Có $g'\left( x \right) =  - 4{x^3} + 2x =  - 2x\left( {2{x^2} - 1} \right) < 0;\,\forall x > 1$

Ta có BBT của hàm $g\left( x \right) =  - {x^4} + {x^2} + 1$ với $x > 1$

Từ BBT suy ra $m \ge 1.$