Cho \(a\), \(b\) là các số dương thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\dfrac{{5b - a}}{2}\). Tính giá trị \(\dfrac{a}{b}\).

Đặt \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\dfrac{{5b - a}}{2} = t\) ta được: \(a = {9^t},b = {16^t},\dfrac{{5b - a}}{2} = {12^t}\)

Suy ra \(\dfrac{{{{5.16}^t} - {9^t}}}{2} = {12^t} \Leftrightarrow {5.16^t} - {2.12^t} - {9^t} = 0 \)

\(\Leftrightarrow 5 - 2.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^t} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2t}} = 0\)

Đặt $u = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} > 0$ ta được:

$5 - 2u - {u^2} = 0 \Leftrightarrow {u^2} + 2u - 5 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = - 1 + \sqrt 6 \left( {TM} \right)\\
u = - 1 - \sqrt 6 \left( {KTM} \right)
\end{array} \right.$

Suy ra \(  {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^t} = \sqrt 6  - 1\)

Do đó \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{9^t}}}{{{{16}^t}}} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2t}} = {\left( {\sqrt 6  - 1} \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 \).