Cho \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{3{x^4} - 3x - 3}}{{{x^2} + \sqrt {x + 1} }}dx} = a + \sqrt b - \sqrt c \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{{3{x^4} - 3x - 3}}{{{x^2} + \sqrt {x + 1} }}dx} = 3\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^4} - \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + \sqrt {x + 1} }}dx} \\ = 3\int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {{x^2} + \sqrt {x + 1} } \right)\left( {{x^2} - \sqrt {x + 1} } \right)}}{{{x^2} + \sqrt {x + 1} }}dx} \\ = 3\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - \sqrt {x + 1} } \right)dx} \\ = 3\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} } \right)} \right|_1^2\\ = 3\left( {\dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{3}.3.\sqrt 3 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.2.\sqrt 2 } \right)\\ = 3\left( {\dfrac{7}{3} - 2\sqrt 3 + \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}} \right)\\ = 7 - 6\sqrt 3 + 4\sqrt 2 \\ = 7 - \sqrt {32} - \sqrt {108} \\ \Rightarrow a = 7,\,\,b = 32,\,\,c = 108\end{array}\)
Vậy \(a + b + c = 7 + 32 + 108 = 147.\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) trên tử thức, rút gọn.
- Sử dụng công thức tính các nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\sqrt x dx} = \dfrac{2}{3}x\sqrt x + C\).
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 9 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
