Cho \(\int\limits_0^{\frac{9}{{16}}} {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x  + 1}}dx}  = \dfrac{{a - b\ln 2}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{c}\) tối giản. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng:

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt x \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  + \sqrt x  = t\\\sqrt {x +1}  - \sqrt x  = \dfrac{1}{t}\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt x  = t - \dfrac{1}{t}\)

\( \Rightarrow 4x = {\left( {t - \dfrac{1}{t}} \right)^2} \Rightarrow 4dx = \dfrac{{2\left( {{t^4} - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{9}{{16}} \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{9}{{16}}} {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x  + 1}}dx}  = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^4} - 1}}{{2{t^3}\left( {t + 1} \right)}}dt} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {{t^2} + 1} \right)\left( {t - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^3} - {t^2} + t - 1}}{{{t^3}}}dt} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {1 - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{{{t^3}}}} \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {t - \ln \left| t \right| - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{2{t^2}}}} \right)} \right|_1^2\\ = \dfrac{{9 - 8\ln 2}}{{16}}\\ \Rightarrow a = 9,\,\,b = 8,\,\,c = 16\end{array}\)

Vậy \(a + b + c = 9 + 8 + 16 = 33\).