Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\)

ĐKXĐ: $x \ne  - 1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .

Khi đó:

\(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} \)\(\Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\)\(\Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 11\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}\)

Vậy \({x_0} =  - 11 <  - 5\) .