Biết rằng hai đường cong \(y={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}-20x+5\) và \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-3x-1\) tiếp xúc nhau tại một điểm duy nhất. Tìm tọa độ điểm đó.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;{x^4} - 6{x^3} + 15{x^2} - 20x + 5 = {x^3} - 2{x^2} - 3x - 1\\
\Leftrightarrow {x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 17x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 3 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = - 5\\
x = 3 \Rightarrow y = - 1\\
x = 2 \Rightarrow y = - 7
\end{array} \right..
\end{array}\)

Khi đó ta thấy đáp án A, B, C đều có khả năng đúng.

Ta có: \(f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-18x+30x-20;\ \ g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-3.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 18{x^2} + 30x - 20 = 3{x^2} - 4x - 3\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 21{x^2} + 34x - 17 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 17x + 17} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{17 + \sqrt {17} }}{8}\\
x = \frac{{17 - \sqrt {17} }}{8}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Kết hợp nghiệm của hai hệ phương trình ta thấy nghiệm chung duy nhất là \(x=1\Rightarrow \left( 1;-5 \right)\) là điểm tiếp xúc.