Biết rằng hai đường cong $y={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}-20x+5$ và $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-3x-1$ tiếp xúc nhau tại một điểm duy nhất. Tìm tọa độ điểm đó.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

$\begin{array}{l} \;\;\;\;{x^4} - 6{x^3} + 15{x^2} - 20x + 5 = {x^3} - 2{x^2} - 3x - 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 17x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0\\ x - 3 = 0\\ x - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = - 5\\ x = 3 \Rightarrow y = - 1\\ x = 2 \Rightarrow y = - 7 \end{array} \right.. \end{array}$

Khi đó ta thấy đáp án A, B, C đều có khả năng đúng.

Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-18x+30x-20;\ \ g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-3.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 18{x^2} + 30x - 20 = 3{x^2} - 4x - 3\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 21{x^2} + 34x - 17 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 17x + 17} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{{17 + \sqrt {17} }}{8}\\ x = \frac{{17 - \sqrt {17} }}{8} \end{array} \right.. \end{array}$

Kết hợp nghiệm của hai hệ phương trình ta thấy nghiệm chung duy nhất là $x=1\Rightarrow \left( 1;-5 \right)$ là điểm tiếp xúc.