Biết hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng $d:y = - x$ . Tính $f\left( { - {a^3}} \right).$

$f\left( { - {a^3}} \right) = - {a^{ - 3a}}.$

$f\left( { - {a^3}} \right) = - \dfrac{1}{3}.$

$f\left( { - {a^3}} \right) = - 3.$

$f\left( { - {a^3}} \right) = - {a^{3a}}.$

Xem đáp án

68 lượt xem

Đề kiểm tra 1 tiết chương 2: Hàm số lũy thừa, mũ và logarit - Đề số 1 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Giả sử $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là điểm thuộc hàm số $y = {a^x}$ ; $N\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua đường thẳng $y = - x$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $MN \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2};\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2}} \right)$ .

Vì $M,{\rm{ }}N$ đối xứng nhau qua $d$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {MN} //\overrightarrow {{n_d}} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2} = - \dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2}\\\dfrac{{{x_M} - {x_0}}}{1} = \dfrac{{{y_M} - {y_0}}}{1}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - {y_M}\\{y_0} = - {x_M}\end{array} \right.$

Ta có $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in$ đồ thị $y = {a^x}$ nên ${y_M} = {a^{{x_M}}}$ .

Do đó ${x_0} = - {y_M} = - {a^{{x_M}}} = - {a^{ - {y_0}}}$ $\Rightarrow - {y_0} = {\log _a}\left( { - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = - {\log _a}\left( { - {x_0}} \right)$ .

Điều này chứng tỏ điểm $N$ thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right) = - {\log _a}\left( { - x} \right)$ .

Khi đó $f\left( { - {a^3}} \right) = - {\log _a}{a^3} = - 3.$

Hướng dẫn giải:

- Tìm hàm số $y = f\left( x \right)$ .

- Tính giá trị $f\left( { - {a^3}} \right)$ theo công thức vừa tìm được ở trên.

Giải thích thêm:

Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = {a^x}$ qua $Oy$ là được đồ thị hàm số $y = {a^{ - x}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}.$

Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ qua $Oy$ là được đồ thị hàm số $y = f\left( { - x} \right).$

Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = f\left( x \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = - x$ nên suy ra đồ thị của hai hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}$ và $y = f\left( { - x} \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ . $\left( 1 \right)$

Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\log _a}x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x.$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ , suy ra $f\left( { - x} \right) = {\log _{\frac{1}{a}}}x \Rightarrow f\left( { - {a^3}} \right) = {\log _{\frac{1}{a}}}{a^3} = - 3.$