Bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{2}{{x + 3}} < \dfrac{{4x}}{{3x - {x^2}}}$ có nghiệm nguyên lớn nhất là

Bất phương trình tương đương với

$\dfrac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} <  - \dfrac{{4x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} < 0.$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.$

Ta có $3x + 22 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{22}}{3};\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,3\end{array} \right..$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \dfrac{{22}}{3}} \right) \cup \left( { - \,3;3} \right).$

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 2.$