Bất phương trình \({\log _2}\left( {\sqrt {3x + 1}  + 6} \right) - 1 \ge {\log _2}\left( {7 - \sqrt {10 - x} } \right)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

Điều kiện: \( - \dfrac{1}{3} \le x \le 10\)

Ta có:

\({\log _2}\left( {\sqrt {3x + 1}  + 6} \right) - 1 \ge {\log _2}\left( {7 - \sqrt {10 - x} } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1}  + 6 \ge 2(7 - \sqrt {10 - x}) \\ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1}  \ge 8 - 2\sqrt {10 - x} \end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3x + 1 \ge 64 - 32\sqrt {10 - x}  + 4\left( {10 - x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 32\sqrt {10 - x}  \ge 103 - 7x\\ \Leftrightarrow 1024\left( {10 - x} \right) \ge 10609 - 1442x + 49{x^2}\\ \Leftrightarrow 49{x^2} - 418x + 369 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le \dfrac{{369}}{{49}}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện  ta được: \(1 \le x \le \dfrac{{369}}{{49}}\)

Vậy có 7 nghiệm nguyên.