Bằng đường dây truyền tải một pha, điện năng từ một nhà máy phát điện nhỏ có công suất truyền đi không thay đổi được đưa đến một khu tái định cư. Các kỹ sư tính toán được rằng, nếu tăng điện áp truyền đi từ U lên 2U thì số hộ dân được nhà máy cung cấp đủ điện năng tăng từ 36 lên 144. Biết rằng chỉ có hao phí trên đường dây là đáng kể; các hộ dân tiêu thụ điện năng như nhau. Nếu điện áp truyền đi là 4U thì nhà máy này sẽ cung cấp đủ điện năng cho khoảng bao nhiêu hộ dân?

Gọi công suất truyền đi là P không đổi

Công suất điện mỗi hộ dân tiêu thụ là \({P_0}\)

Khi điện áp truyền tải là U và 2U, công suất tiêu thụ là:

\(\begin{array}{l}{P_1} = 36{P_0} = P - \dfrac{{{P^2}R}}{{{U^2}}}\,\,\left( 1 \right)\\{P_2} = 144{P_0} = P - \dfrac{{{P^2}R}}{{{{\left( {2U} \right)}^2}}} = P - \dfrac{{{P^2}R}}{{4{U^2}}}\,\,\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{P - \dfrac{{{P^2}R}}{{{U^2}}}}}{{P - \dfrac{{{P^2}R}}{{4{U^2}}}}} = \dfrac{{36}}{{144}} \Rightarrow \dfrac{{1 - \dfrac{{PR}}{{{U^2}}}}}{{1 - \dfrac{{PR}}{{4{U^2}}}}} = 0,25\\ \Rightarrow 1 - \dfrac{{PR}}{{{U^2}}} = 0,25 - 0,0625\dfrac{{PR}}{{{U^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{PR}}{{{U^2}}} = 0,8\end{array}\)

Khi điện áp truyền đi là 4U, công suất tiêu thụ là:

\({P_3} = n{P_0} = P - \dfrac{{{P^2}R}}{{{{\left( {4U} \right)}^2}}}\,\,\left( 3 \right)\)

Chia hai vế phương trình (1) và (3), ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{36{P_0}}}{{n{P_0}}} = \dfrac{{P - \dfrac{{{P^2}R}}{{{U^2}}}}}{{P - \dfrac{{{P^2}R}}{{16{U^2}}}}} = \dfrac{{P - 0,8P}}{{P - 0,05P}}\\ \Rightarrow \dfrac{{36}}{n} = \dfrac{{0,2}}{{0,95}} \Rightarrow n = 171\end{array}\)

Vậy điện năng đủ cung cấp cho 171 hộ dân.