Xác định giá trị của $m$ để đường tròn $\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$ và đường tròn $\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2mx - 2\left( {2m + 3} \right)y - 3m - 5 = 0$  tiếp xúc trong với nhau.

Để phương trình $\left( {{C_2}} \right)$ là phương trình đường tròn thì: ${m^2} + {\left( {2m + 3} \right)^2} + 3m + 5 > 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 12m + 9 + 3m + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 5{m^2} + 15m + 14 > 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} + 3m} \right) + 14 > 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} + 2.\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4}} \right) - \dfrac{{5.9}}{4} + 14 > 0\\ \Leftrightarrow 5{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\,\,\,\forall m\end{array}$
$\Rightarrow \left( {{C_2}} \right)$ luôn là phương trình đường tròn với $\forall m.$
Ta có: $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;\,\,2} \right)$ và bán kính ${R_1} = 3.$
$\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( { - m;\,\,2m + 3} \right)$ và bán kính ${R_2} = \sqrt {5{m^2} + 15m + 14} .$
Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ tiếp xúc trong với nhau $\Leftrightarrow {I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt {5{m^2} + 15m + 14} } \right|\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4{m^2} + 4m + 1 = 9 - 6\sqrt {5{m^2} + 15m + 14} + 5{m^2} + 15m + 14\\ \Leftrightarrow 9m + 21 = 6\sqrt {5{m^2} + 15m + 14} \\ \Leftrightarrow 3m + 7 = 2\sqrt {5{m^2} + 15m + 14} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 7 \ge 0\\{\left( {3m + 7} \right)^2} = 4\left( {5{m^2} + 15m + 14} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{7}{3}\\9{m^2} + 42m + 49 = 20{m^2} + 60m + 56\end{array} \right.\end{array}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{7}{3}\\11{m^2} + 18m + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{7}{3}\\\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{7}{{11}}\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1.$