với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (d) :y=x+m cắt parabol (P) :y=x^2+2x-3 tại hai điểm phân biệt A;B sao cho ΔAOB cân tại gốc tọa độ O

Đáp án:

\[m = 1\]

Giải thích các bước giải:

 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 3 = x + m\\
 \Leftrightarrow {x^2} + x - \left( {m + 3} \right) = 0
\end{array}\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt trên có 2 nghiệm phân biệt:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow Δ > 0\\
 \Leftrightarrow 1 + 4.\left( {m + 3} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow 4m + 13 > 0\\
 \Leftrightarrow m >  - \frac{{13}}{4}
\end{array}\)

Khi đó, pt trên có 2 nghiệm phân biệt, thỏa mãn  \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - 1\\
{x_1}.{x_2} =  - \left( {m + 3} \right)
\end{array} \right.\)

Khi đó, (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B thỏa mãn \(A\left( {{x_1};\,\,{x_1} + m} \right);\,\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{x_2} + m} \right)\)

Tam giác OAB cân tại O nên OA=OB

Ta có:

\(\begin{array}{l}
OA = OB\\
 \Leftrightarrow O{A^2} = O{B^2}\\
 \Leftrightarrow {x_1}^2 + {\left( {{x_1} + m} \right)^2} = {x_2}^2 + {\left( {{x_2} + m} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 2{x_1}^2 + 2{x_1}.m = 2{x_2}^2 + 2{x_2}m\\
 \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 - {x_2}^2} \right) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right).m = 0\\
 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + m = 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,{x_1} \ne {x_2}} \right)\\
 \Leftrightarrow  - 1 + m = 0\\
 \Leftrightarrow m = 1\left( {t/m} \right)
\end{array}\)