Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(1,3) B(-2,3) C(-2,1).Điểm M(a,b) thuộc trục Oy sao cho |vectoMA + 2vectoMB +3vectoMC | nhỏ nhất. Tính T =a+b

Đáp án:

\[T = 2\]

Giải thích các bước giải:

 Trong mặt phẳng tọa độ, lấy điểm \(I\left( {x,y} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} \left( {1 - x;3 - y} \right)\\
\overrightarrow {IB} \left( { - 2 - x;3 - y} \right)\\
\overrightarrow {IC} \left( { - 2 - x;1 - y} \right)\\
\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - x} \right) + 2.\left( { - 2 - x} \right) + 3.\left( { - 2 - x} \right) = 0\\
\left( {3 - y} \right) + 2.\left( {3 - y} \right) + 3.\left( {1 - y} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{3}{2}\\
y = 2
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{2};2} \right)
\end{array}\)

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\\
 = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} } \right|\\
 = \left| {6\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\
 = 6MI
\end{array}\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm vị trí điểm M để MI nhỏ nhất

Mà I không đổi nên M là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy 

Do đó, \(M\left( {0;2} \right) \Rightarrow T = a + b = 2\)