Tìm tọa độ M thuộc (D) x+y=0 sao cho MA+MB nhỏ nhất biết A(1;1) ,B(-2;-4)

Đáp án:

\(M\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\)

Giải thích các bước giải:

Ta có:

1+1=2>0

-2-4=-6<0

=> A, B nằm khác phía đối với (D)

Khi đó áp dụng BĐT tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB\)

=> MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và đường thẳng (D).

Phương trình đường thẳng AB:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 2 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 4 - 1}} \Leftrightarrow 5\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 5x - 3y - 2 = 0\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
5x - 3y - 2 = 0\\
x + y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{4}\\
y =  - \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\)