Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau : a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4) b) f(2) = 6 c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Đáp án:

Gọi hàm số bậc hai có dạng : y = a$x^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Do thỏa mãn điều kiện (a) nên ta có ngay c = -4. Mặt khác f(2) = 6 nên ta có : 6 = 4a + 2b + c hay 2a + b = 5(1)

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ $b^{2}$ – 4ac > 0 ⇔ $b^{2}$ + 16a > 0

Gọi các nghiệm là $x_{1}$, $x_{2}$ ta có :

|$x_{1}$ – $x_{2}$ | = 5 ⇔ $x_{1}$ + x2)^2 – 4$x_{1}$x2 = 25 (2)

Ta có : $x_{1}$ + $x_{2}$ =$\frac{-b}{a}$ ;

$x_{1}$.$x_{2}$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-4}{a}$ nên (2) trở thành :

$\frac{b^2}{a^2}$ +16/a=25 ⇔$b^{2}$+ 16a = $25a^{2}$ (2)

Giải hệ (1) và (2) ta có : a = 1 và b = 3 hoặc a = $\frac{-25}{21}$ và b = $\frac{115}{21}$ . Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện $b^{2}$ + 16a > 0. Có hai hàm số bậc hai cần tìm là :

y = $x^{2}$ + 3x – 4;

y = $\frac{-25}{21}$$x^{2}$+ $x_{2}$ +$\frac{115}{21}$.x – 4