Pt: x^3-2x^2+(1+m)x +m=0. Tìm m để pt có 3 nghiệm thỏa: x1^2+x2^2+x3^2=4

Đáp án: m=1

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
{x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m = 0\\
 \Rightarrow {x^3} - 2{x^2} + x - mx + m = 0\\
 \Rightarrow x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - m\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - 1} \right).\left( {x.\left( {x - 1} \right) - m} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - m} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1\\
{x^2} - x - m = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Pt có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn đk thì x2 , x3 là nghiệm của pt (2), theo Viet ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
{x_2} + {x_3} = 1\\
{x_2}.{x_3} =  - m
\end{array} \right. \Rightarrow 1 + 4m > 0 \Rightarrow m > \frac{{ - 1}}{4}\\
Khi:x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4\\
 \Rightarrow 1 + {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} - 2{x_3}.{x_2} = 4\\
 \Rightarrow 1 + 1 + 2m = 4\\
 \Rightarrow m = 1\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m = 1
\end{array}$