Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ do thành phố tổ chức đạt được 15 giải. Hỏi đội tuyển học sinh giỏi đó có bao nhiêu học sinh? Biết rằng: Học sinh nào cũng có giải. Bất kỳ môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh chỉ đạt 1 giải. Bất kỳ hai môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn. Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 3 môn. Tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần.

Đáp án:

 `10` `bạn`

Giải thích các bước giải:

Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh) 

Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh) 

Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh) 

Tổng số giải đạt được là:

`3` `x` `a` `+` `2` `x` `b` `+` `c` `=` `15` `(giải)`. 

Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c. 

Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên: 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán. 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ. 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ. 

Do vậy b= 3. 

Giả sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là: 

`3` `x` `2` `+` `2` `x` `3` `+` `4` `=` `16` `>` `15`(loại). Do đó `a` `<` `2,` `nên` `a` `=` `1`.

Ta có: `3` `x `1` `+` `2` `x` `b` `+` `c` `=` `15` suy ra: `2` `x` `b` `+` `c` `=` `12.` 

Nếu b `=` `3` `thì` `c` `=` `12` `-` `2` `x` `3` `=` `6` (đúng). 

Nếu b `=` `4` `thì` `c` `=` `12` `-` `2` `x` `4` `=` `4` (loại vì trái với điều kiện b < c) 

Vậy có 1 bạn đạt 3 giải, 3 bạn đạt 2 giải, 6 bạn đạt 1 giải. 

Đội tuyển đó có số học sinh là: `1` `+` `3` `+` `6` `=` `10` `(bạn).`