Giúp em với ạ.cho tam giác ABC ,E là trung điểm AB.F thuộc AC sao cho vecto AF=2FC.gọi k là trung điểm EF.M thuộc BC sao cho vecto BM=k vecto CM.tìm k để A,K,M thẳng hàng

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{k}{{k - 1}}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{{k - 1}}\overrightarrow {AB} + \frac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AC} \end{array}\) A, K, M thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = m.\,\overrightarrow {AM} \) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{k - 1}}.m = \frac{1}{4}\\\frac{k}{{k - 1}}.m = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{4}(1 - k) = \frac{{k - 1}}{{3k}}\\ \Leftrightarrow 3k(1 - k) = 4(k - 1)\\ \Leftrightarrow 3{k^2} + k - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = \frac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\\k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CM} \,\,\,(vo\,\,li)\end{array}\) Vậy \(k = \frac{{ - 4}}{3}\)