Giải và biện luận phương trình (a và m là các tham số): a) |2ax + 3 |= 5; b)$\frac{2mx-m^2+m-2}{x^2-1}$ =1

Đáp án:

a) Ta có : |2ax + 3| = 5(1) ⇔ |2ax + 3| = |5| ⇔ 2ax + 3 = 5

hoặc 2ax + 3 = -5 ⇔ 2ax = 2 hoặc 2ax = -8 ⇔ ax = 1 hoặc ax = -4

Nếu a = 0 ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu a ≠ 0 ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt : x = 1/a , x = -4/a

b)Điều kiện xác định của phương trình là ∀ x; x ≠ 1 và x ≠ - 1.

Khi đó : $\frac{2mx- m^2 + m - 2}{x^2-1}$ =1 (2)

(2)⇔ 2mx – $m^{2}$ + m – 2 = $x^{2}$ – 1 ⇔ $x^{2}$ – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (3)

Ta có : Δ’ = $m^{2}$ – $m^{2}$ + m -1 = m – 1

Nếu m – 1 < 0 ⇔ m < 1 ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ (2) vô nghiệm

Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ (3) có nghiệm kép $x_{1}$ =$x_{2}$ = 1 ⇒ (2) vô nghiệm

Nếu m - 1 > 0 có m > l =0 (3) có hai nghiệm phân biệt

$x_{1}$ = m – √(m -1) ; $x_{2}$ = m + √(m -1) (hiển nhiên $x_{2}$ > $x_{1}$)

Vì m > 1 nên x2 > 1 ⇒ $x_{2}$ luôn là nghiệm của (2). Còn $x_{1}$ ≤ 1.

Nên : Nếu $x_{1}$ = -1 ⇔ m – √(m – 1) = - 1 ⇔ m + 1 = √( m – 1)

⇔ $m^{2}$ + 2m +1 = m – 1(vì m + 1 > 0)

⇔ $m^{2}$ + m + 2 = 0 phương trình này vô nghiệm tức là$x_{1}$ ≠ -1 với mọi m > 1.

Vậy $x_{1}$ = 1 ⇔ m = 2

Tóm lại : m ≤ 1 thì (2) vô nghiệm

m > 1 và m ≠ 2 thì (2) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = m – √(m -1) ; x2 = m + √(m -1)

m = 2 thì (2) có một nghiệm x = 3