giải phương trình:$\sqrt[2]{x-1}$+$\sqrt[2]{x^{2}-1}$=$\textit{x}$$\sqrt[2]{x}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: ĐKXĐ $: x >= 1$

$PT <=> \sqrt{x - 1} = x\sqrt{x} - \sqrt{x^{2} - 1} (*)$

$<=> x - 1 = x^{3} + x^{2} - 1 - 2x\sqrt{x(x^{2} - 1)}$

$<=> x(x^{2} - 1) - 2x\sqrt{x(x^{2} - 1)} + x^{2} = 0$

$<=> x(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x})^{2} = 0$

$<=> \sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x} = 0$

$<=> \sqrt{x^{2} - 1} = \sqrt{x}$

$<=> x^{2} - 1 = x$

$<=> x^{2} - x - 1 = 0$

$<=> x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 

Lưu ý: $x >= 1 <=> x^{3} >= x^{2} > x^{2} - 1$
$<=> x\sqrt{x} > \sqrt{x^{2} - 1} <=> x\sqrt{x} - \sqrt{x^{2} - 1} > 0$
Nên phép bình phương $(*)$ là bình phương tương đương