Chứng minh bất đẳng thức ( a +b ) ($\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$ ) $\geq$ 4
2 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có: `(sqrta-sqrtb)^2>=0∀a,b>0`
`<=>a-2sqrt{ab}+b>=0∀a,b>0`
`<=>a+b>=2sqrt{ab}∀a,b>0` `(1)`
Ta lại có: `(sqrt{1/a}-sqrt{1/b})^2>=0∀a,b>0`
`<=>1/a-2sqrt{1/{ab}}+1/b>=0∀a,b>0`
`<=>1/a+1/b>=2sqrt{1/{ab}}∀a,b>0(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=>(a+b).(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}.2sqrt{1/{ab}}`
`=>(a+b).(1/a+1/b)>=4`
`=>` Bất đẳng thức được chứng minh
`(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>=0` với `AAa, b>=0`
`<=>a-2\sqrt{ab}+b>=0`
`<=>a+b>=2\sqrt{ab}(1)`
`(\sqrt{1/a}-\sqrt{1/b})^2>=0` với `AAa, b>0`
`<=>1/a-2\sqrt{1/(ab)}+1/b>=0`
`<=>1/a+1/b>=2\sqrt{1/(ab)}(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra: `(a+b)(1/a+1/b)>=2\sqrt{ab}.2\sqrt{1/(ab)}=4`
`=>đpcm`
