Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . O là trung điểm của MN , E là điểm tùy ý . Chứng minh ràng EA + EB + EB +EC + ED =4EO

Xét vế trái ta có

$\vec{EA} + \vec{EB} + \vec{EC} + \vec{ED}$

$=\vec{EO} + \vec{OA} + \vec{EO} + \vec{OB} + \vec{EO} + \vec{OC} + \vec{EO} + \vec{OD}$

$= 4\vec{EO} + \vec{OM} + \vec{MA} + \vec{ON} + \vec{NB} + \vec{ON} + \vec{NC} + \vec{OM} + \vec{MD}$

$= 4\vec{EO} + 2\vec{OM} + 2\vec{ON} + \vec{MA} + \vec{MD} + \vec{NB} + \vec{NC}$

$= 4\vec{EO} + 2(\vec{OM} + \vec{ON}) + (\vec{MA} + \vec{MD}) + (\vec{NB} + \vec{NC})$

Do O, M, N là trung điểm MN, AD, BC nên ta có

$\vec{OM} + \vec{ON} = \vec{MA} + \vec{MD} = \vec{NB} + \vec{NC} = \vec{0}$

Do đó

$\vec{EA} + \vec{EB} + \vec{EC} + \vec{ED} = 4\vec{EO} + \vec{0} = 4\vec{EO}$