Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H vẽ HE vuông góc AB tại E, HF vuông góc AC tại F. a) Chứng minh: tứ giác AEHF là hình chữ nhật rồi suy ra EF²=HB.HC b) Nếu biết AB=6m, AC =8m. Tính tỉ số HB/ HC c) Chứng minh: HE. AB+ HF.AC=AB.AC

a) Tứ giác $AEHF$ có $\widehat A=\widehat E=\widehat F=90^o$

$\Rightarrow $ tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EF=AH$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ ta có:

$AH^2=BH.CH$

$\Rightarrow EF^2=AH^2=BH.CH$

b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ có:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}$

$=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}$

$\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABH, ABC$ ta có:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

$\Rightarrow HC=BC-BH=10-\dfrac{18}{5}=\dfrac{32}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{16}$

c) $\Delta$ vuông $ABH$ có: $HE.AB=BH.AH$

$\Delta $ vuông $AHC$ có: $FH.AC=AH.HC$

$\Rightarrow HE.AB+FH.AC=AH(BH+CH)=AH.BC$

Mà $\Delta $ vuông $ABC$ có: $AH.BC=AB.AC$

$\Rightarrow HE.AB+FH.AC=AH(BH+CH)=AB.AC$ (đpcm).