cho tam giác ABC trọng tâm G. gọi M ,N là các điểm xác định bởi vecto AM = 2 vecto AB, vecto AN = 2/5 vecto AC . CM M,N,G thẳng hàng

Đáp án:

G, M, N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

Gọi H là trung điểm của BC

Ta có:  

\(
\overrightarrow {AH}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)
\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(
\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} 
\)

Suy ra: \(
\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)
\)

Lại có: \(
\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AN}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} 
\)

Thay vào biểu thức ban đầu ta được: 

\(
\begin{array}{l}
 \overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  + \frac{5}{2}\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {AM}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AN}  \\ 
  \Leftrightarrow 6\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AM}  + 5\overrightarrow {AN}  \\ 
  \Leftrightarrow (\overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {AM} ) + (5\overrightarrow {AG}  - 5\overrightarrow {AN} ) = \overrightarrow 0  \\ 
  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + 5.\overrightarrow {NG}  = \overrightarrow 0  \\ 
 \end{array}
\)

Suy ra: G, M, N thẳng hàng.