Cho tam giác ABC Tìm tập hợp M sao cho 2|vt MA + vtMB + vtMC| =3|vtMB +vtMC| .?

Gọi G là trọng tâm ∆ABC => vtGA + vtGB + vtGC = vt0, ta có

2|vtMA + vtMB + vtMC| = 3|vtMB +vtMC|

<=> 2|(vtMG + vtGA) + (vtMG + vtGB) + (vtMG + vtGC)| = 3|(vtMG + vtGB) + ( vtMG + vtGC)|

<=> 2|vtMG| = |2vtMG + vtAG|

<=> 4vtMG² = 4vtMG² + 4vtMG.vtAG + vtAG²

<=> vtAG.(4vtMG + vtAG) = 0 (*)

Suy ra cách xác định M như sau: Lấy K xác định sao cho vtAG = 4vtGK. Tập hợp các điểm M cần tìm là đường thẳng (d) đi qua K và vuông góc với AG

Cm : Xét điểm M bất kỳ trên (d) ta có: 4vtMG + vtAG = 4vtMG + 4vtGK = 4(vt MG + vtGK) = 4vtMK

=> vtAG.(4vtMG + vtAG) = 4vtAG.vtMK = 0 (vì AG _|_ MK) thỏa mãn (*)