cho tam giác abc,gọi m,n,p lần lượt trung điểm ab, ac,bc chứng minh tam giác abc và tam giác mnp có cùng trọng tâm?

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác MNP. Khi đó ta có

$$\begin{cases} \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\\ \vec{G'M} + \vec{G'N} + \vec{G'P} = \vec{0} \end{cases}$$

Ta có nhận xét sau

$$\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} = 3\vec{GG'}$$

Thật vậy, ta có

\begin{align*} &\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} \\ &=\vec{AG} + \vec{GG'} + \vec{G'M} + \vec{BG} + \vec{GG'} + \vec{G'P} + \vec{CG} + \vec{GG'} + \vec{G'N}\\ &= 3 \vec{GG'} + (\vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG}) + (\vec{G'M} + \vec{G'P} + \vec{G'N})\\ &= 3 \vec{GG'} -(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + \vec{0}\\ &= 3 \vec{GG'} - \vec{0} = 3 \vec{GG'} \end{align*}

Mặt khác, do M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC, do đó

$$\begin{cases} \vec{MN} = \vec{BP} = \dfrac{1}{2} \vec{BC}\\ \vec{NP} = \vec{AM} = \dfrac{1}{2} \vec{AB}\\ \vec{PM} = \vec{CN} = \dfrac{1}{2} \vec{CA} \end{cases}$$

Khi đó, ta có

$$\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} = \vec{NP} + \vec{MN} + \vec{PM} = \vec{0}$$

Vậy theo đẳng thức ở trên ta có

$$\vec{GG'} = \vec{0}$$

Vậy $G$ và $G'$ trùng nhau. Do đó hai tam giác có cùng trọng tâm.