Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. M là trung điểm AG. a.Biểu diễn vectơ CM qua vectơ CA và vectơ CB b. Tìm N thuộc AB sao cho C,M,N thẳng hàng

a) GỌi P là trung điểm BC. Ta có

$\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM}$

$= \vec{CA} + \dfrac{1}{2} \vec{AG}$ (M là trung điểm AG)

$= \vec{CA} + \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} \vec{AP}$ (G là trọng tâm)

$= \vec{CA} + \dfrac{1}{3} (\vec{CP} - \vec{CA})$

$= \dfrac{2}{3} \vec{CA} + \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} \vec{CB}$

$= \dfrac{2}{3} \vec{CA} + \dfrac{1}{6} \vec{CB}$

b) Gọi $\vec{AN} = k \vec{AB}$. Khi đó

$\vec{CN} = \vec{CA} + \vec{AN}$

$= \vec{CA} + k\vec{AB}$

$= \vec{CA} + k(\vec{CB} - \vec{CA})$

$= (1-k) \vec{CA} + k\vec{CB}$

Để C, M, N thẳng thàng thì $\vec{CN}$ và $\vec{CM}$ phải cùng phương, do đó

$\vec{CN} = n\vec{CM}$

Hay

$\dfrac{1-k}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{k}{\dfrac{1}{6}}$

Giải ra ta được $k = \dfrac{1}{5}$.

Vậy $\vec{AN} = \dfrac{1}{5} \vec{AB}$ hay $AN = \dfrac{1}{5} AB$.