Cho tam giác ABC có AD là đường trung tuyến, G là trọng tâm. Qua G kẻ đường thẳng d cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng: $\dfrac{AB}{AM}$ + $\dfrac{AC}{AN}$ = 3

Đáp án:

G là trọng tâm ΔABC ⇒ AD/AG = 3/2; DG/AG = 1/2

D là trung điểm BC và BI//CK ⇒ Δ BDI = ΔCDK (g.c.g)

⇒ D là trung điểm IK ⇒ AI + AK = 2AD; IG + KG = 2DG;

Ta có:

 AB/AM + AC/AN = AI/AG + AK/AG = (AI + AK)/AG = 2AD/AG = 2.(3/2) = 3 (đpcm)

Giải thích các bước giải:

Từ $B$ kẻ $BH//d, CK//d(H,K\in AD)$

Dễ dàng chứng minh $DH=DK$ 

$\triangle ABH$ có : $MG//BH$

$\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AG}$ (Talet)

Tương tự : $\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AK}{AG}$ (Talet)

$\to \dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AH+AK}{AG}=\dfrac{(AH+HD) + AH + DK}{AG}\\=\dfrac{AD+AD}{AG}=\dfrac{2AD}{AG}\\=\dfrac{2.\dfrac{3}{2}AG}{AG}\\=3$