Cho tam giác ABC có AB = 5; AC = 6, góc A = 120 độ a. Tính vt BA.AC và độ dài BC. b. Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC c. Gọi N là điểm thỏa mãn vt NA +2AC=0. Gọi K là điểm trên cạnh BC sao cho vt BK=x BC Tìm x để AK ⊥ BN

a) $\vec{BA}.\vec{AC}=|\vec{AB}|.|\vec{AC}|\cos\widehat(\vec{BA},\vec{AC})=5.6.\cos120^o=-15$

Áp dụng định lý Cosin vào $\Delta ABC$ ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos\widehat{A}$

$=5^2+6^2-2.5.6.\cos 120^o$

$=91\Rightarrow \sqrt{91}$

b) Áp dụng công thức tính đường trung tuyến vào $\Delta ABC$ ta có:

$AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}=\dfrac{2(5^2+6^2)-91}{4}=\dfrac{31}{4}$

$\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{31}}{2}$

c) $\vec{NA}+2\vec{AC}=\vec 0\Rightarrow \vec{NA}=-2\vec{AC}=2\vec{CA}$

$\Rightarrow AN=2AC=2.6=12$

Giả sử $AK\bot BN$, $AK\cap BN=G$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABN$ ta có:

$BN^2=AB^2+AN^2-2.AB.AN.\cos\widehat{A}$ 

$\Rightarrow BN^2=5^2+12^2-2.5.12.\cos120^o=229$

$\Rightarrow BN=\sqrt{229}$

$AN^2=BA^2+BN^2-2.BA.BN.\cos\widehat{ABN}$

$\Rightarrow 12^2=5^2+229-2.5.\sqrt{229}.\cos\widehat{ABN}$

$\Rightarrow \cos\widehat{ABN}=\dfrac{11}{\sqrt{229}}$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABG$ có:

$\cos\widehat{ABG}=\dfrac{BG}{AB}\Rightarrow \dfrac{11}{\sqrt{229}}=\dfrac{BG}{5}$

$\Rightarrow BG=\dfrac{55}{\sqrt{229}}$

Áp dụng định lý Cosin vào $\Delta BCN$ có:

$CN^2=BC^2+BN^2-2.BC.BN.\cos\widehat{CBN}$

$\Rightarrow 6^2=91+229-2.\sqrt{91}.\sqrt{229}.\cos\widehat{CBN}$

$\Rightarrow \cos\widehat{CBN}=\dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}$

$\Delta $ vuông $BKG$ có: $\cos\widehat{KBG}=\dfrac{BG}{BK}$

$\Rightarrow \dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}=\dfrac{\dfrac{55}{\sqrt{229}}}{BK}$

$\Rightarrow BK=\dfrac{\dfrac{55}{\sqrt{229}}}{\dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}}=\dfrac{55\sqrt{91}}{142}$

Từ hình vẽ suy ra $\vec{BK}$ và $\vec{BC} $ cùng hướng 

$\Rightarrow x=\dfrac{\vec{BK}}{\vec{BC}}=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{\dfrac{55\sqrt{91}}{142}}{\sqrt{91}}=\dfrac{55}{142}$