cho tam giác ABC có A(-2,-2) B(-1,-1) C (1,-3) a) cmr tam giác ABc vuông b) tính chu vi và diện tích của tam giác ABC c) tính tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC d) tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật

a) Ta có

$\vec{AB} = (1,1)$, $\vec{BC} = (2,-2), $\vec{CA} = (3,-1)$

Khi đó

$\vec{AB}. \vec{BC} = 1.2 + 1.(-2) = 0$

Do đó $\vec{AB} \perp \vec{BC}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B.

b) Theo Câu a), ta có

$AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, BC = 2\sqrt{2}, CA = \sqrt{10}$

Vậy chu vi của tam giác ABC là

$P_{ABC} =AB + BC + CA = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10} = 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$

Diện tích của tam giác ABC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB . BC = \dfrac{1}{2} . \sqrt{2} . 2\sqrt{2} = 2$

c) - Cách 1:

Gọi $O(a,b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Khi đó ta có

$\vec{AO} = (a+2, b+2), \vec{BO} = (a+1, b+1), \vec{CO} = (a-1, b+3)$

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên

$\begin{cases} AO^2 = BO^2\\ AO^2 = CO^2 \end{cases}$

Vậy ta có hệ

$\begin{cases} (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a+1)^2 + (b+1)^2\\ (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a-1)^2 + (b+3)^2 \end{cases}$

Giải ra ta có

$a = -\dfrac{1}{2}, b = -\dfrac{5}{2}$

Vậy $O(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2})$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là

$\sqrt{(a+2)^2 + (b+2)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

- Cách 2.

Gọi O là trung điểm AC.

Khi đó tọa độ điểm O là

$O(-\dfrac{1}{2} , -\dfrac{5}{2})$

Khi đó, do tam giác ABC cân tại B nên BO là trung tuyến của tam giác ứng với cạnh huyền nên

$OA = OB  =OC = \dfrac{AC}{2}$

Vậy O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có O là trung điểm BC nên bán kính đường tròn là

$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

d) Gọi $D(x,y)$ là điểm thỏa mãn tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó

$\vec{DC} = (1-x,-3-y)$

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên

$\vec{AB} = \vec{DC}$

$<-> (1,1) = (1-x,-3-y)$

Suy ra $x = 0, y= -4$. Vậy $D(0,-4)$

Do đó, với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tuy nhiên, lại có $\widehat{ABC}$ vuông nên nó cũng là hình chữ nhật.

Vậy với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật..