Cho tam giác ABC cạnh 2a trọng tầm G. Tính các tích sau(tích vô hướng của hai véc tơ) AB. AC AC. AG GA. BG

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}.\\
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AG}  = 2{a^2}.\\
\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {BG}  = \frac{{2{a^2}}}{3}.
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB.

=> AM, BN, CP cũng là các đường cao và các đường phân giác của tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AM = BN = CP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\\ \Rightarrow AG = BG = CG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.a\sqrt 3  = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)

Tam giác ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \angle BAC = 2a.2a.\cos {60^0} = 2{a^2}.\\\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AG}  = AC.AG.\cos \angle GAC = 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\cos 30 = 2{a^2}.\\\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {BG}  = GA.BG.\cos \angle AGN = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\cos {60^0} = \frac{{2{a^2}}}{3}.\end{array}\)