Cho pt 2x2+(2m-1)x +m-1=0 (m là tham số ).Không giải pt ,tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 3x1-4x2=11

Đáp án:

$m = - 2; m =\dfrac{ 33}{8}$ 

Giải thích các bước giải:

$2x^2+(2m-1)x+m-1=0$

$\Delta'=(2m-1)^2-4.2.(m-1)=4m^2-12m+9=(2m-3)^2$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta>0$

$\Leftrightarrow m\ne\dfrac32$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}2\\x_2.x_2=\dfrac{m-1}{2}\end{cases}$

Xét hệ thức: $3x_1 - 4x_2 = 11$ (1)

Nhân hai vế của (1) với $(3x_2 - 4x_1)$ ta có:

$(3x_1 - 4x_2)(3x_2 - 4x_1) = 11(3x_2 - 4x_1)$ (*)

$⇔ 49x_1x_2 - 12(x_1 + x_2)² = 11(3x_2 - 4x_1)$

$⇔ 3x_2 - 4x_1 = \dfrac1{11}.[49x_1x_2 - 12(x_1 + x_2)²]$

$⇔ 3x_2 - 4x_1 =\dfrac 1{11}.\left[{49\dfrac{m - 1}2 - 12\dfrac{(1 - 2m)²}4}\right]$

$= -\dfrac {24m² - 73m + 55}{22}$ (2)

Cộng (1) với (2) vế theo vế:

$- (x_1 + x_2) = 11 -\dfrac{ 24m² - 73m + 55}{22}$

$⇔\dfrac{ 2m - 1}{2} = -\dfrac{ 24m² - 73m +187 }{22}$

$⇔ 24m² - 51m - 198 = 0$

$⇔ m = - 2; m =\dfrac{ 33}8$

Để loại trừ trường hợp $3x_2 - 4x_1 = 0$ làm cho phép nhân (*) không tương đương, thay $m = - 2$ và $m = \dfrac{33}8$ vào phương trình đã cho thử lại thỏa mãn (1)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\left\{{-2;\dfrac{33}8}\right\}$

Đáp án:

$\left[ {\matrix{
   {m = {{33} \over 8}}  \cr 
   {m =  - 2}  \cr 

 } } \right.$

Giải thích các bước giải:

Để phương trình $2x^2+(2m-1)x +m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\eqalign{
  &  \Leftrightarrow \Delta  > 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} - 4.2.(m - 1) > 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 8m + 8 > 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 > 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow {(2m - 3)^2} > 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow m \ne {3 \over 2} \cr} $

Theo định lý Vi-et: $\left\{ {\matrix{
   {{x_1} + {x_2} = {{1 - 2m} \over 2}}  \cr 
   {{x_1}.{x_2} = {{m - 1} \over 2}}  \cr 

 } } \right.$

Lại có: $3{x_1} - 4{x_2} = 11$ (giả thiết)

Ta có hệ: 

$\eqalign{
  & \left\{ {\matrix{
   {3{x_1} - 4{x_2} = 11}  \cr 
   {{x_1} + {x_2} = {{1 - 2m} \over 2}}  \cr 

 } } \right.  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
   {3{x_1} - 4{x_2} = 11}  \cr 
   {4{x_1} + 4{x_2} = 2(1 - 2m)}  \cr 

 } } \right.  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
   {7{x_1} = 13 - 4m}  \cr 
   {{x_1} + {x_2} = {{1 - 2m} \over 2}}  \cr 

 } } \right.  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
   {{x_1} = {{13 - 4m} \over 7}}  \cr 
   {{x_2} = {{ - 19} \over {14}} - {{3m} \over 7}}  \cr 

 } } \right. \cr} $

Vì ${x_1}{x_2} = {{m - 1} \over 2}$ nên ${{13 - 4m} \over 7}.\left( {{{ - 19} \over {14}} - {{3m} \over 7}} \right) = {{m - 1} \over 2}$

$\left[ {\matrix{
   {m = {{33} \over 8}}  \cr 
   {m =  - 2}  \cr 

 } } \right.$
 

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy với $m=-2$ và $m=\dfrac{33}{8}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thảo mãn điều kiện đề bài.