Cho phương trình x^2-2.(m+2).x+m^2+m+6=0 Tìm tất cả tham số m để pt có2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia

Đáp án:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 2}\\
{m = 6}
\end{array}} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2(m + 2) + {m^2} + m + 6 = 0(1)\\
\Delta ' = {(m + 2)^2} - {m^2} - m - 6 = 3m - 2
\end{array}\)

Pt (1) có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia 

<=>\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta ' > 0}\\
{{x_1} = 3{x_2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3m - 2 > 0}\\
{{x_1} = 3{x_2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > \frac{2}{3}}\\
{{x_1} = 3{x_2}}
\end{array}} \right.\)

Áp dụng Viet ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} = 2(m + 2)}\\
{{x_1}.{x_2} = {m^2} + m + 6}
\end{array}} \right.\\
{x_1} = 3{x_2} =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4{x_2} = 2(m + 2)}\\
{3{x_2}^2 = {m^2} + m + 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2} = \frac{{m + 2}}{2}}\\
{3.{{(\frac{{m + 2}}{2})}^2} = {m^2} + m + 6(2)}
\end{array}} \right.\\
(2) \Leftrightarrow \frac{1}{4}{m^2} - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 2}\\
{m = 6}
\end{array}} \right.(tm)
\end{array}\)