Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K a)Chứng minh AE=AF (đã xong) b) Chứng minh các tam giác AKF,CAF đồng dạng và AF^2=KF.CF (đã xong) c) Cho AB=4cm,BE=3/4.BC. Tính diện tích tam giác AEF d) Khi E di động trên cạnh BC, tia AE cắt CD tại J. Chứng minh biểu thức (AE.AJ)/FJ có giá trị không phụ thuộc vị trí của E

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AE\perp AF$

$\to \widehat{FAD}=90^o-\widehat{DAE}=\widehat{EAB}$

Mà $AD=AB, \widehat{ADF}=\widehat{ABE}$

$\to \Delta ABE=\Delta ADF(c.g.c)$

$\to AE=AF$

b.Ta có $AE=AF, AE\perp AF\to \Delta AEF$ vuông cân tại $A$

Mà $AI$ là trung tuyến $\Delta AEF$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{EAF}$

$\to \widehat{FAI}=\dfrac12\widehat{FAE}=45^o=\widehat{ACD}=\widehat{ACF}$

Mà $\widehat{AFK}=\widehat{AFC}$

$\to \Delta AKF\sim\Delta CAF(g.g)$

$\to \dfrac{FA}{FC}=\dfrac{FK}{FA}$

$\to AF^2=KF.CF$

c.Ta có $\Diamond ABCD$ là hình vuông

$\to AB=BC=CD=DA=4$

$\to BE=\dfrac34BC=3$

$\to AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=5$

$\to S_{AEF}=\dfrac12AE^2=\dfrac{25}2$ vì $\Delta AEF$ vuông cân tại $A$

d.Ta có $AE\perp AF\to AF\perp AJ$

Mà $AD\perp FJ$

$\to AF.AJ=AD.FJ(=2S_{AFJ})$

$\to \dfrac{AF.AJ}{FJ}=AD$

$\to \dfrac{AE.AJ}{FJ}=AD$  không đổi (vì $AE=AF$)