Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính các tích vô hướng: vectơ AB . vectơ CD, vectơ BD . vectơ BC, vectơ AC . vectơ BD

Đáp án: $\vec{AB}.\vec{CD}=4a^2$

                $\vec{BD}.\vec{BC}=6a^2$

                $\vec{AC}.\vec{BD}=2a^2$

Giải thích các bước giải:

+) $\vec{AB}.\vec{CD}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc của $D$ lên $BC$

$\Rightarrow ABDH$ là hình vuông (vì có 3 góc $\widehat A=\widehat B=\widehat H=90^o$ và $AD=AB$)

$\Rightarrow DH=2a$

Trong $\Delta DCH$:

$DC=\sqrt{DH^2+HC^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt5$

$\cos\widehat{HDC}=\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{2a}{a\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}$

Gọi $AB\cap DC=I$

$\Rightarrow(\vec{AB},\vec{CD})=\widehat{BIC}=\widehat{HDC}$ (2 góc ở vị trí đồng vị)

$\Rightarrow \cos(\vec{AB},\vec{CD})=\cos\widehat{HDC}=\dfrac{2}{\sqrt5}$

$\Rightarrow \dfrac{\vec{AB}.\vec{CD}}{AB.CD}=\dfrac{2}{\sqrt5}$

$\Rightarrow \vec{AB}.\vec{CD}=\dfrac{2}{\sqrt5}.AB.CD=\dfrac{2}{\sqrt5}.2a.a\sqrt5=4a^2$

+) $\vec{BD}.\vec{BC}$

Do $ADHB$ là hình vuông $\Rightarrow \widehat{DBC}=45^o$, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a\sqrt2$

Mà $(\vec{BD},\vec{BC})=\widehat{DBC}=45^o$

$\Rightarrow\cos(\vec{BD},\vec{BC})=\dfrac{\vec{BD}.\vec{BC}}{BD.BC}=\cos 45^o=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\Rightarrow \vec{BD}.\vec{BC}=\dfrac{1}{\sqrt2}.BD.BC=\dfrac{1}{\sqrt2}.2a\sqrt2.3a=6a^2$

+) $\vec{AC}.\vec{BD}$

$\Delta ABC$: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{13}$

$\tan\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=33,69^o$

Gọi $AC\cap BD=O$ theo tính chất góc ngoài của tam giác, $\Delta BOC$ có:

$\widehat{DOC}=\widehat {OBC}+\widehat{BOC}=45^o+33,69^o=78,69^o$

$(\vec{AC},\vec{BD})=\widehat{DOC}$

$\Rightarrow \cos (\vec{AC},\vec{BD})=\dfrac{\vec{AC}.\vec{BD}}{AC.BD}=\cos 78,69^o=0,2$

$\Rightarrow \vec{AC}.\vec{BD}=0,2.AC.BD=0,2.a\sqrt{13}.2a\sqrt2=2a^2$