Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = a√3, cạnh đáy AD = a, BC = 2a. Gọi G là trọng tâm của ΔBCD và tính tích vô hướng: vectơ AG . vectơ AB

Đáp án:

$2{a^2}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\
 = \dfrac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AB}  = \dfrac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \\
 = \dfrac{2}{3}A{B^2} + 0 = \dfrac{2}{3}.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 2{a^2}
\end{array}$

Đáp án:\[{\rm{2}}{{\rm{a}}^2}\]

Giải thích các bước giải:

\[\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB}  = (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DG} ).\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DG} .\overrightarrow {AB} \]

mặt khác: \[AD \bot AB =  > \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 0\]

=>\[\overrightarrow {DG} .\overrightarrow {AB}  = \left| {\overrightarrow {DG} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {DG} ;\overrightarrow {AB} ) = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.a\sqrt 3 .c{\rm{os0 = 2}}{{\rm{a}}^2}\]