cho hàm số y=x^2-2(m+1)x-3. chứng minh hàm số luôn cắt trục hoành tại 2 điểm A, B phân biệt. tìm m để AB nhỏ nhất

Đáp án:

m = -1 

Giải thích các bước giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình: 

${x^2} - 2(m + 1)x - 3 = 0$

Ta có: $\Delta ' = {(m + 1)^2} + 3 > 0\forall m$

Khi đó, đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B.

Gọi  $A({x_1},{y_1});B({x_2},{y_2})$ là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Ta có: $AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$

Suy ra: $A{B^2} = {({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2}$ (1)

Hệ thức Vi-et: $\left\{ {\matrix{
   {{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)}  \cr 
   {{x_1}{x_2} =  - 3}  \cr 

 } } \right.$

Thay vào (1) ta được: 

$A{B^2} = 4{(m + 1)^2} - 4( - 3) = 4{(m + 1)^2} + 12 \ge 12$

(Do ${(m + 1)^2} \ge 0\forall m$)

$ \Leftrightarrow AB \ge 2\sqrt 3 $

Dấu bằng xảy ra khi m = -1.