Cho ΔABC và D bất kì. DA,DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA,AB tại A',B',C' cmr nếu ta có vecto BA'- vecto A'C+ vectoCB' -vecto B'A +vectoAC'-vecto C'B=0 thì D là trọng tâm tam giác ABC !!! Ai đó giúp tôi với cảm ơn rất nhiều ??!!! Tui cần rất gấp mai lộp cảm ơn nhiều ạ!!

Lời giải: 

Theo giả thiết: 

$\overrightarrow {BA'}  - \overrightarrow {A'C}  + \overrightarrow {CB'}  - \overrightarrow {B'A}  + \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CA'} ) + (\overrightarrow {CB'}  + \overrightarrow {AB'} ) + (\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BC'} ) = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DA'}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA'} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB'}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB'} ) + (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC'}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC'} ) = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BD}  + 2\overrightarrow {DA'}  + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB'}  + \overrightarrow {AD} ) + (\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {DC'}  + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow 0 $

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB 

Dễ chứng minh: 

$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BG}  + 2\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {CG} ) + (\overrightarrow {CG}  + 2\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {AG} ) + (\overrightarrow {AG}  + 2\overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {BG} ) = \overrightarrow 0 $

Như vậy, G ≡ D hay D là trọng tâm tam giác ABC