Cho a, b, c lớn hơn hoặc bằng 1 và nho hơn hoặc bằng 3 và a +b+c bằng 6 Chung minh a mu2+b mu 2+c mu2nho hơn hoặc bằng 14

#andy

Đặt `x=a-1, y=b-1, c=z-1`
`=>0<=x,y,z<=2 và x+y+z=3(1)`
Phải chứng minh `(x+1)^2+(y+1)^2+(x+1)^2<= 14`
`<=> x^2+y^2+z^2<= 5 ( x+y+z=3)`
`<=>(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)<=5`
`<=>xy+yz+xz<=5(2)`
Không mất tính tổng quát giả sử `ymax={x,y,z}`
`=> 3y>=x+y+z=3`
`=> y>=1`
`từ (2)=> y(x+z)+zx>=2`
`<=>y(3-y)+zx>=2`
`<=>zx>=y^2-3y+2`
Vì `1<=y<=2`
`=> y^2-3y+2<=0`
`zx>=0(vì x,z>=0)`
`=> zx>= y^2-3y+2`( đúng)
`=>` điều phải chứng minh
dấu` '=' `xảy ra `<=> a=1,b=2,c=3` và các hoán vị

Đáp án:

Giải thích các bước giải:Đặt x=a-1, y=b-1, c=z-1

=>0<=x,y,z<=2 và x+y+z=3                 (1)

Phải chứng minh (x+1)^2+(y+1)^2+(x+1)^2<= 14

<=> x^2+y^2+z^2<= 5 ( x+y+z=3)

<=>(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)<=5

<=>xy+yz+xz<=5                                   (2)

Không mất tính tổng quát giả sử ymax={x,y,z}

=> 3y>=x+y+z=3

=> y>=1

từ (2)=> y(x+z)+zx>=2

<=>y(3-y)+zx>=2

<=>zx>=y^2-3y+2

Vì 1<=y<=2

=> y^2-3y+2<=0

zx>=0(vì x,z>=0)

=> zx>= y^2-3y+2( đúng)

=> điều phải chứng minh

dấu '=' xảy ra <=> a=1,b=2,c=3 và các hoán vị