Cho A(3;-1) ,B(2;1) và C (5;0). Tìm k thuộc đường thẳng y=x+1sao cho AK nhỏ nhất

Đáp án: $K(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

Giải thích các bước giải:

Gọi toạ độ điểm K là K(a; a+1)

Ta có:

$\eqalign{   & AK = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {{(a + 1 -  - 1)}^2}}  = \sqrt {{a^2} - 6a + 9 + {a^2} + 4a + 4}  = \sqrt {2{a^2} - 2a + 13}  = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} - a + \frac{{13}}{2}}  = \sqrt 2 .\sqrt {{{(a - \frac{1}{2})}^2} + \frac{{25}}{4}}   \cr    & Vi\,{(a - \frac{1}{2})^2} \geqslant 0\,\forall a  \cr    &  \Rightarrow {(a - \frac{1}{2})^2} + \frac{{25}}{4} \geqslant \frac{{25}}{4}\,\forall a  \cr    &  \Rightarrow \,\sqrt 2 .\sqrt {{{(a - \frac{1}{2})}^2} + \frac{{25}}{4}}  \geqslant \sqrt 2 .\frac{5}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\,\forall a \cr} $

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 

$\matrix    \,{(a - \frac{1}{2})^2} = 0 \hfill \cr     \Leftrightarrow \,a = \frac{1}{2} \hfill \cr   \endmatrix $

Khi đó ta có $K(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$