cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BD; MN lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng : Đoạn I J, PQ, MN có chung trung điểm.

Dễ thấy IM // BD // NJ MJ // AC // IN $ \Rightarrow $ IMJN là hình bình hành $ \Rightarrow $ MN \( \cap \) Ị = O là trung điểm của mỗi đường Ta có : \(\begin{array}{l}\overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\\ & \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ & \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0 \end{array}\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của IJ. (Em tự vẽ hình nhé)

Cách 1:

Ta có: $I$ là trung điểm cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow IN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow IN\parallel AC$ (1)

Tương tự $MJ$ là đường trung bình $\Delta ACD$

$MJ\parallel AC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IN\parallel MJ$ (*)

Tương tự: $NJ$ là đường trung bình $\Delta BCD$

$\Rightarrow NJ\parallel BD$

và $IM$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow IM\parallel BD$

$\Rightarrow IM\parallel NJ$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra Tứ giác $INJM$ là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song

Gọi $O=MN\cap IJ\Rightarrow O$ là trung điểm của $MN,IJ$

Ta có: $PN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow PN\parallel=\dfrac{1}{2}AB$

$MQ$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow MQ\parallel=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow NP\parallel=MQ$

$\Rightarrow NPMQ$ là hình bình hành

$O$ là trung điểm của $NM\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

Vậy $IJ,PQ,MN$ có chung trung điểm $O$ (đpcm).

Cách 2:

Như chứng minh trên tứ giác $INJM$ là hình bình hành, $O=IJ\cap MN$

$O$ là trung điểm của $MN,IJ$

Ta có: $\vec{OA}+\vec{OC}=2\vec{OP}$ (quy tắc hình bình hành)

$\vec{OB}+\vec{OD}=2\vec{OQ}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{OP}+\vec{OQ}=\dfrac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OB}+\vec{OD})$

$=\dfrac{1}{2}[(\vec{OA}+\vec{OD})+(\vec{AB}+\vec{OC})]$

$=\dfrac{1}{2}(2\vec{OM}+2\vec{ON})$

$=\vec{OM}=\vec{ON}=\vec 0$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

$\Rightarrow IJ,MN,PQ$ có chung trung điểm là $O$ (đpcm).