Cho 3 số a, b, c dương thỏa a.b.c=1 . Chứng minh rằng: " Nếu a+b=c > 1/a + 1/b + 1/c thì có 1 và chỉ 1 số trong 3 số đó lớn hơn 1"

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giả sử \(a + b + c > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn \(1\)

TH1: Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn (vì \(abc=1\))

TH2: Có 2 số lớn hơn 1

Giả sử \(a>1,b>1,c<1\) suy ra \(a-1>0, b-1>0, c- 1<0\)

\( \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)<0\)

\( \Rightarrow abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0\)

\( \Rightarrow a+b+c

\(\Rightarrow a + b + c < \dfrac{{abc}}{c} + \dfrac{{abc}}{a} + \dfrac{{abc}}{b} = abc.\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) (mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)

Suy ra đpcm